妖精現実

[ 新着記事 | 数学・プログラミング | 天文・暦
| シリア語・Unicode・詩 | ジョーク | 漫画・アニメ
| 字幕 | 哲学・ファンタジー | 全記事 | チラ裏 ]

チラ裏

2021-06-07　物理的な不良セクターがあるSSDのクローン

「SSDは使ってないと壊れやすい」は、これで痛い目に遭った…という失敗談。

電源がオフだと、物理的にも無防備なのだろうか。何かの天罰で宇宙線でも当たったのかもしれない。

壊れたものは仕方ない。とりあえずセクター・バイ・セクターのクローンを作って、不具合のあるSSDと入れ替えておいた。

2021-06-06　【注意】SSDは使ってないと壊れやすい　用がなくても週に1度は電源を

「SSDは、アクセスが速く、回転部分がないので壊れにくい。従来のハードディスクより優れた新技術…」という一般的イメージを持たれている。

一方、SSDには、特有の弱点があることも知られている。そのうち「通電していないとデータが壊れる確率が上がる」という事実は、用途によっては重大な問題点だろう。

IBMサポートの資料「Flash Data Retention」によると:

「一般的なイメージとは裏腹に、フラッシュメモリー上の情報は、恒久的に保存されるものではありません。これは NAND Flash 技術の特性であり、データを長期間保存するためには、電源を入れて使わなければなりません。FlashSystem 900 は40℃以下の環境において、最大90日間まで電源オフの状態にして大丈夫です。電源オフの状態が7日間を超える場合、システムは自動的にリフレッシュ動作を行います」

言い換えると、そのような自動リフレッシュがない一般の環境では、電源オフが1週間を超えると、データ損失・破壊のリスクの増大が無視できないレベルになる。もちろん確率は低いが、イメージ的に「日常的に使っていれば、一定期間ごとに100万分の1の確率で起きる悪いイベントが、1万分の1の確率で起きるようになる（100倍のリスク）」みたいな感じかも…。この特性から、当然ながら、SSDは「週ごと、月ごとの定期バックアップ先のメディア」としては不向き。そのような用途では、古い技術であるハードディスクの方がはるかに信頼性が高い。「SSDの方が値段が高いから信頼性が高い」と誤解してはならない（衝撃に対する信頼性は高いかもしれないが…）。

確率上の話として、SSDの場合、毎日じゃんじゃん使う方が、保存されているデータは「論理的」に壊れにくい。もちろんデバイスの「物理的」な消耗は早くなるが、形ある物がやがて壊れるのは仕方のないこと。消耗品と割り切って、必要なら定期的にバックアップやクローンをするしかないだろう。「余計な消耗を防ぐため、なるべく使わないようにしよう」と考え、長期電源オフによると、むしろ壊れるリスクが増えると思われる。

参考リンク: Will SSD lose data if left unpowered for extended period? : DataHoarder (reddit)

2021-05-29　動画注意報: madVRの色スケールがTV（16-235）になってしまう

現象　Windows 用の MPC-HC や MPC-BE において、ビデオレンダラーとして madVR を選び、PCスケール（0-255）で出力させる設定をしている場合、全画面表示では望む色レベルが得られるものの、ウィンドウ表示にすると、スケールがTV（16-235）になってしまうことがある。真っ白が薄灰色になり、真っ黒が真っ暗にならず、赤やピンク系が微妙にずれた色調になる（少し濃く・暗く見える）。

説明　この問題は、ハードウェアアクセラレータ（GPU）が有効になっていて、DXVA Native が使われる場合に、GPU回りの相性によって発生するらしい。「字幕のレンダリングに XySubFilter を使う場合に起きる」という報告もある。上流において、何らかの方法で明示的にTV→PCの伸張を行っている場合には、原則として発生しないようである。

サンプル画像

madVR Full-screened と右下の EVR-CP Windowed は、RGB各成分・誤差±1程度の同じPCスケールで表示されています（この色調を得たい）。右上の madVR Windowed は、微妙にですが、目で見てはっきり分かるくらい色が違う。赤っぽいおだんごの部分で比較すると、他と比べて、G成分が 0x10 = 16階調も暗過ぎる。

回避方法　幾つかの選択肢がある。

• madVR をやめて Enhanced Video Renderer (custom presenter)（略称: EVR-CP）を使う
• madVR を使いたい場合、ハードウェアアクセラレータの設定を DXVA2 (copy-back) に変更する（テストとして、ハードウェアアクセラレータ自体を無効にしてもいい）
• せっぱ詰まった場合、奥の手として、上流に TV-PC 変換をする Shader を挟んで、強制的にレベルを広げる方法もある。しかし全画面表示では既にPCスケールになっている状態において、Shader で一律に伸張すると、全画面表示では2重伸張になって白飛び・黒つぶれが起きる懸念があるので、確認が必要

テスト方法　設定上、madVR では出力が PC levels (0-255) になっていること、EVR-CP では Output range が 0-255 になっていることを最初に確認。x264あたりの適当な動画を再生して、一時停止。できれば真っ黒 RGB(0,0,0) のピクセルがあるフレームがいい（カラーバーでもいい）。ウィンドウ表示と全画面表示のそれぞれで、フレームをPNG形式でキャプチャー。同じことを madVR と EVR-CP の2種類のレンダラーについて実行（レンダラーを変えたら動画を開き直す）。キャプチャー画像のどれも色が同じなら、問題は発生していない。もし上述の現象が起きている場合、madVR のウィンドウ表示のみ、他と色が微妙に変わり、(0,0,0) になるはずの真っ黒ピクセルは (16,16,16) くらいになる。

参考情報　madVR 開発者からのコメントは次の通り。「自分の意見ですが、copy-back に変更して済ませてはどうでしょうか。いずれにせよ DXVA Native は厄介で扱いにくい代物。GPU次第で違う結果になり、もしかすると GPUドライバーの（バージョンの）違いで、結果が変わってしまう可能性さえあります。だから Intel GPU で起きることは、多分、私自身が Nvidia や AMD の GPU で起きることとは恐らく違うのです」。madVR側で対応する気はなさそう…。手元では Nvidia の GPU で、現象を再現させることができた。

2021-05-15　log (1 + i) とか　～その2～

前回の続き。

4.　そもそも、log a^b = b log a というのは、どういうことだろうか？

log a というのは e^□ = a を満たす □ のこと。例えば a の値が e³ だとすると:
　　log a = log e³ = 3　（なぜなら e³ = a）
…当たり前。

log A というのは e^□ = A を満たす □ のこと。今度は A の値が a^b だとしてみる。ただし a = e³, b = 2 とする。
　　A = a^b = (e³)² = (e³) × (e³)
　　= (e × e × e) × (e × e × e) = e⁶
　　だから log A = log e⁶ = 6

上記のように、実数の範囲では指数法則 (e³)² = e^3×2 が成り立つので:
　　log (e³)² = 「eを何乗すると (e³)² になるか」
　　= 「eを何乗すると e³ になるか？」の答えの2倍
　　= (log e³) × 2 = 2 log e³

同様に考えると、一般に log a^b = b log a が成り立つのは、当たり前に思える。実数の範囲では…ね。

5.　ところが複素数の範囲では、そうとも言い切れない。a = 1 + i, b = 2, 3, 4, … とすると、前回チラッと観察したことだが…
　　log a² = log (1 + i)² = 2 log (1 + i) = 2 log a
　　log a³ = log (1 + i)³ = 3 log (1 + i) = 3 log a
　　log a⁴ = log (1 + i)⁴ = 4 log (1 + i) = 4 log a
までは順調に進むのだが、
　　log a⁵ = log (1 + i)⁵ ≠ 5 log (1 + i) = 5 log a
…という衝撃の事実（？）が待っている。これは「主値」というものを考える場合に起きる現象。

とりあえず (1 + i)² などの部分を直接展開して、何が起きるか見てみましょう。
　　(1 + i)² = 1² + 2 × 1 × i + i² = 1 + 2i + (−1) = 2i
　　だから　log (1 + i)² = log 2i

log w = log |w| + i arg w という性質を思い出そう。上記の場合 w = 2i で、複素平面を考えれば、その絶対値（原点からの距離）が 2 であること、偏角の主値が 90° つまり π/2 であることは容易に分かるので:
　　log (1 + i)² = log 2i = log 2 + πi/2

前回見たように log (1 + i) = (log 2)/2 + πi/4 （☆）なので
　　log (1 + i)² = 2 log (1 + i)
がちゃ～んと成り立つ。ここまでは楽勝。

同じことを「3乗」の場合について考えると:
　　(1 + i)³ = 1³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i² + i³ = 1 + 3i − 3 − i = −2 + 2i
　　だから　log (1 + i)³ = log (−2 + 2i)
この −2 + 2i は、絶対値が √8、偏角の主値が 3π/4 なので:
　　log (1 + i)³ = log (−2 + 2i) = log √8 + 3πi/4
ここで √8 = 2^3/2 に留意すると、先ほど見たように、実数の範囲では log a^b = b log a なので
　　log √8 = log 2^3/2 = (3/2) log 2 = (3 log 2)/2
　　従って　log (1 + i)³ = log √8 + 3πi/4 = (3 log 2)/2 + 3πi/4
これは（☆）の3倍なので
　　log (1 + i)³ = 3 log (1 + i)
も、ちゃんと成り立つ。

最後に (1 + i)² = 2i は上記で計算済みなので、その両辺を自乗して (1 + i)⁴ = (2i)² = −4。だから
　　log (1 + i)⁴ = log (−4) = log 4 + πi = 2 log 2 + πi
これも（☆）のちょうど4倍なので
　　log (1 + i)⁴ = 4 log (1 + i)
も、また正しい。

2乗・3乗・4乗まではOKなのに、何で5乗になると、同様のシンプルな関係が成り立たないのか？　大方予想がつくだろうが arg w の部分で「偏角の主値」を選ぶというところに問題が潜んでいる。（続く）

2021-05-08　log (1 + i) とか　複素関数って値の変数名がwで草

実数の範囲では log a^b = b log a のような計算が成り立つが、複素数の範囲ではどうだろうか。順を追って、あれこれ考えてみたい。

1.　z を複素数とする。e^z つまり exp z の値を w とするとき、
　　A = log w = log |w| + i arg w
という複素数は、
　　exp A = w
という関係を満たすが、A = z とは限らない。一般に、A は z を含めて無限個の値を取ることができるのだった。そのうち特定の一つ（具体的には arg w として、偏角の主値 Arg w を選んだ場合）が、log w の主値とされる。主値以外の log w の値は、主値と 2πi の整数倍の差を持つ。

簡単に言えば…

• log w の値は一つに決まってなくて、虚部に 2π の整数倍を足したり引いたりしても構いませんよ～
• だから log w には無限個の値が考えられるけど、どれか一つだけは、虚部が −π より大きく π 以下の範囲になるので、その一つを主値としますよ～

ということだった。

2.　例えば 1 + i は、絶対値 √2、偏角の主値 π/4 なので、log (1 + i) の主値は:
　　A = log (1 + i) = log √2 + i(π/4)
という特定の複素数。主値以外も含めて言うと、k を任意の整数として:
　　log (1 + i) = log √2 + i(π/4) + 2πik
　　= ½ log 2 + ¼(8k + 1)πi

ここで log √2 = log 2^½ = ½ log 2 という関係を使った（実数の範囲では、このような計算が成り立つ）。

k = 0 のときが主値に当たる:
　　A = log (1 + i) = ½ log 2 + (π/4)i = 0.346… + (0.785…)i

この複素数 A は exp A = 1 + i を満たす。

主値以外の例として、例えば k = 3 とでもすると:
　　B = log (1 + i) = ½ log 2 + (25π/4)i = 0.346… + (19.634…)i

この複素数 B も exp B = 1 + i を満たす。

＜検算＞　複素数 z の実部を x、虚部を y とすると、e^z つまり exp z は、こうなる:
　　exp z = exp x cis y
ここで cis y = cos y + i sin y は偏角を表す単位ベクトル（偏角そのものは y）。従って:
　　exp A = [exp (log √2)] cis (π/4)
　　= √2 cis (π/4)　　［なぜなら exp (log X) = X］
　　= √2 [cos (π/4) + i sin (π/4)]
　　= √2 (√2 / 2 + i √2 / 2) = 1 + i
exp B では上記の cis (π/4) が cis (25π/4) に置き換わるが、両者は等しいので最終結果は同じ。□

log (1 + i) 自体は、そんなに難しくなかった。上で見たように、その主値は:
　　A = log (1 + i) = (1/2) log 2 + (π/4)i = 0.346… + (0.785…)i

3.　では log (1 + i)² はどうなるだろうか？　実数の世界の感覚としては、主値として
　　log (1 + i)² = 2 log (1 + i) = 2A
　　= log 2 + (π/2)i = 0.693… + (1.570…)i
とやりたくなるが、この変形は正しい？

答えはイエス。虚部が −π より大きく π 以下の範囲にあるのだから、上記は主値の条件を満たしている。一方、それとほとんど同じに見える次の計算は、正しい主値を与えてくれない:
　　log (1 + i)⁵ = 5 log (1 + i) = 5A
　　= (5/2) log 2 + (5π/4)i = 1.732… + (3.926…)i

何がいけないの？　まず最後の虚部 3.926… は π = 3.141… を超えている。主値の条件を満たしていないので、これが主値ということはあり得ない！

もう少し具体的に言うと、A の虚部は π/4 なのだから、その4倍を超えると、上記の「主値の範囲」をはみ出してしまう。結果として、
　　log (1 + i)² = 2 log (1 + i)
は正しいのに、
　　log (1 + i)⁵ = 5 log (1 + i)
は正しくない。表面的には同様の変形に見えるのにね…

本をただせば「主値」というコンセプトが、人工的というか、すっきりしない。虚部が −π より大きく π 以下の範囲という約束は、不自然ではないが、必然的でもない…。虚部が 0 以上で 2π 未満の範囲としたっていいわけで…。要は幅が 2π の区間を「約束として」選んでるだけ。…だけど、ごねても話が進まないので、とりあえず虚部が −π より大きく π 以下の範囲という約束を受け入れて、

• 主値をそのように定義したとき、log a^b の形の対数の主値は、どうなるか？

という問題に取り組んでみたい。（続く）

チラ裏より

「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。

• 2021-04-09　¼↑↑∞ = ½　有理数に収束する無限タワー
• 2021-04-10　目で見る i 乗　テツコのベルギーワッフル
• 2021-04-11　目で見る i 乗（その2）　2 の i 乗…
• 2021-04-13　目で見る i 乗（その3）　(−2) の i 乗、(2i) の i 乗…
• 2021-04-14　ω 乗
• 2021-04-18　1 の √2 乗は単位円上で稠密　整数の偏角も稠密
• 2021-04-28　「宇宙の実装」と日常生活　助からないと思っても助かっている
• 2021-04-07　双曲線の計算地獄…と天国（その2）
• 2021-04-04　目で見る複素三角関数cos　赤いリボンもキリリッと
• 2021-04-06　√1−z² = √1+z√1−z はOK、√z²−1 = √z+1√z−1 は駄目
• 2021-03-30　目で見る複素関数cosh　cosより考えやすいかも？
• 2021-03-31　√z²−1 = √z+1√z−1 でない　√1−z² = √1+z√1−z なのに…
• 2021-03-21　cot の逆関数　びっくり！！ 君の教科書もまっ赤なうそ！
• 2021-03-26　arccot 第2定義の4種のバリエーション
• 2021-03-17　tan (θ/2) = csc θ − cot θ の可視化
• 2021-03-06　すてきな証明　tan ((α + β)/2) = ?　ウィキペディアより
• 2021-03-01　グーデルマン関数の可視化　円と双曲線　虹の懸け橋
• 2021-03-03　∫sec x dx　グーデルマニアンの威力
• 2021-03-29　【動画作成】注意報　Vorbis/Opus音声はリスキー　直してほしいVLCのバグ
• 2021-02-12　2項定理　ばかばかしいけど分かりやすい（？）説明
• 2021-02-07　「シェルバトフの名著」とは
• 2021-01-10　フィボナッチ数列の一般項の公式　一番簡単な方法？
• 2020-12-22　なぜ木星・土星は外惑星なのに太陽のそばで合になりたがるのか？
• メモ（チラ裏）一覧