妖精現実フェアリアル

チラ裏コーナー（過去のチラ裏）

2020-12-01　「いちご予算オーバー」　角度が虚数のサイン・コサイン

入力 θ が実数のとき、cos θ の値は、−1 以上、1 以下の範囲。絶対値が 1 を超えない。θ が複素数でもいいことにすると、この範囲制限はなくなり、値はものすごい勢いで無限に広がる。

cos i = 1.5430806... （いちご予算オーバー、おうむ）は、cosh 1 に他ならない。名前がコスなので「いちご」はコスプレのキャラ名（東京ミュウミュウ？）か。あるいは自分のコス名か。コスプレイヤー。

sin i = 1.1752011... （いいな高二、おお！いい！）は、sinh 1 に他ならない。「いいな」という発言からすると、こっちはコスプレイヤーではなく、見る側でしょう。

cos, sin に「純虚数」（例えば 2.5i）を入れたときの結果は、それぞれ cosh, sinh に「対応する実数」（例えば 2.5）を入れたもの。グラフは、こんな感じ。

青い実線が cosh。もともと原点に向かうかのように左上から斜めに急降下していたが、y軸と交わるところで気が変わり、引き返している。x=1 のときのコメント「いちご予算オーバー」。予算オーバーを認識して引き返せる決断力の持ち主。しかし、なぜ予算オーバーになったのか。「デザートは別腹」という謎理論のせいかも…

赤い点線が sinh で、こちらは左下からいちずに上昇。原点通過後、cosh に急接近、どんどん体を密着させてくる。危ないやつ。サインのSはストーカーのS。x=1 のときのコメント「いいな高二」。コスプレの「いちご」さんに萌えてるらしいが、一応理性はあるようで、接近しても手出しはしない（このグラフでは接触しているように見えるが、拡大して調べると、接触はせず一線を保っている）。

2020-11-30　コンラッドの不等式（メモ10）　n が正なら（リトライ）

平方数でない正の整数 D と正の整数 n について、x^2 − Dy^2 = n の整数解 (x,y) があったとする。x, y はどちらも負でないと仮定。
不等式 x^2 > x^2 − n = Dy^2 の両辺を D で割って平方根を取ると
x/√D > y つまり x > y√D。だから x − y√D は正で、次の関係が成り立つ。
x + y√D ≥ x − y√D > 0

2個の実数 α = log (x + y√D) と β = log (x − y√D) について α ≥ β が成立。実数 γ = (α+β)/2 はそれらの中点（平均値）に当たるが、(x,y) の値と無関係に n のみにより定まり、 (log n)/ 2 に等しい。なぜなら:
2γ = log (x + y√D) + log (x − y√D) = log ((x + y√D)(x − y√D))
= log (x^2 − Dy^2) = log n

中点 γ から α ないし β までの距離 δ は、もちろん「α と β の距離」の半分:
δ = (α−β)/2 ≥ 0　［仮定により α ≥ β なので δ は負ではない］

よって n が正のケースに限ると、絶対値記号が絡まない議論が可能。（メモ9は、絶対値記号を消せることの説明としてはピンボケだった。）

解 (x,y) を表す実数 x + y√D と、別の解 (x′,y′) を表す実数 x′ + y′√D が単数倍の違いのとき、それらの解は同値と見なされる。2種類の解が本質的に同じというのは、それより広い範囲の対象を一つにまとめる考え方であり、符号の違い (±x,±y) も無視する。すなわち、同値である場合は「本質的に同じ」だが、それに加えて
x + y√D と x − y√D については、同値であっても・なくても「本質的に同じ」と考える。対数の底をメモ9のようにした場合、上記の δ に関連して:
・ある一つの δ ∈ [0,1/2] について「±δ + 整数」に対応する解たちは、全部本質的に同じ。
・そのような解たちのグループは、存在しないことも、1種類だけ存在することも、2種類以上存在することもある。
・拡張ペル方程式の任意の解は、必ずこのようにして定まるグループのどれか一つに属する。
・上記の同値関係でいえば、一般の場合、δ に対応する解たちと、−δ に対応する解たちは同値ではない。特別な場合として、δ = 0 または 1/2 のときに限って、両者は同値。

古典理論では「互いに素」がどうこうという細かい条件が付くが、上記の方法を使うと、その条件を取っ払って、解をクリアカットに分類できる。例えば
x^2 − 61y^2 = 900 について「本質的に異なる14種類の整数解がある」というのは、この意味。14種の内訳は、一般の場合13、特別な場合1、従って同値類でいえば27個。

[1] : (x,y) = (30,0) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.000000 : gcd(x,y)=30
[2] : (x,y) = (31,1) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.011712 : gcd(x,y)=1
[3] : (x,y) = (91,11) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.080711 : gcd(x,y)=1
[4] : (x,y) = (213,27) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.120455 : gcd(x,y)=3
[5] : (x,y) = (275,35) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.132167 : gcd(x,y)=5
[6] : (x,y) = (1250,160) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.201166 : gcd(x,y)=10
[7] : (x,y) = (1617,207) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.212878 : gcd(x,y)=3
[8] : (x,y) = (3874,496) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.252622 : gcd(x,y)=2
[9] : (x,y) = (17659,2261) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.321622 : gcd(x,y)=1
[10] : (x,y) = (22845,2925) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.333333 : gcd(x,y)=15
[11] : (x,y) = (29554,3784) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.345045 : gcd(x,y)=2
[12] : (x,y) = (134719,17249) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.414044 : gcd(x,y)=1
[13] : (x,y) = (322782,41328) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.453789 : gcd(x,y)=6
[14] : (x,y) = (417575,53465) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.465500 : gcd(x,y)=5
[15] : (x,y) = (30,0) : x^2-61*y^2=900 : delta=0.000000 : gcd(x,y)=30
[16] : (x,y) = (31,-1) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.011712 : gcd(x,y)=1
[17] : (x,y) = (91,-11) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.080711 : gcd(x,y)=1
[18] : (x,y) = (213,-27) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.120455 : gcd(x,y)=3
[19] : (x,y) = (275,-35) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.132167 : gcd(x,y)=5
[20] : (x,y) = (1250,-160) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.201166 : gcd(x,y)=10
[21] : (x,y) = (1617,-207) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.212878 : gcd(x,y)=3
[22] : (x,y) = (3874,-496) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.252622 : gcd(x,y)=2
[23] : (x,y) = (17659,-2261) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.321622 : gcd(x,y)=1
[24] : (x,y) = (22845,-2925) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.333333 : gcd(x,y)=15
[25] : (x,y) = (29554,-3784) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.345045 : gcd(x,y)=2
[26] : (x,y) = (134719,-17249) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.414044 : gcd(x,y)=1
[27] : (x,y) = (322782,-41328) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.453789 : gcd(x,y)=6
[28] : (x,y) = (417575,-53465) : x^2-61*y^2=900 : delta=-0.465500 : gcd(x,y)=5

[15][16][17]…は、それぞれ[1][2][3]…の (x,y) を (x,−y) に置き換えたもの。符号の違いを無視するなら、14番目までが本質的に異なる。符号の違いを考えても、[15] は [1] と全く同じ式なのでカウントから除外され、全体では27種。もちろん x, y 両方の符号を逆にしたものも解なので、それらもいちいちカウントするなら54種だが、この数え方は「解を表す実数の −1 倍」も別カウントすることに当たる。−1 は単数（1の約数）であり、「単数倍の違いなら同値」という定義上、同値なので、別カウントする必要ない。他方、例えば [16] は [2] と本質的に同じだが、対応する実数で考えると [2] の単数倍ではないので、同値ではない。言い換えると、
[0,1/2] の範囲での δ の違いが「本質的な違い」、
(−1/2,1/2] の範囲での δ の違いが「同値類としての違い」。

2020-11-29　コンラッドの不等式（メモ9）　n が正だと絶対値記号を消せる訳

【1】　(x,y) を拡張ペル方程式 x^2 − Dy^2 = n の任意の解（|n| ≥ 2）とすると (±x,±y) の4組はどれも解。とりあえず符号はどうでもいいので、x, y はどちらも負でないと仮定。すると
|x + y√D| ≥ |x − y√D| であり、
a = log |x + y√D| と b = log |x − y√D| について a ≥ b が成り立って、
r = (a−b)/2 ≥ 0。
一方、q = (a+b)/2 は、次の理由により、n のみにより決まる定数。
2q = log |x + y√D| + log |x − y√D| = log (|x + y√D|⋅|x − y√D|)
= log |x^2 − Dy^2| = log |n|

【2】　このとき x + y√D > 0 だが（x と y は同時に 0 にはならない）、
(x + y√D)(x − y√D) = x^2 − Dy^2 = n なので、もし n が正なら、
x − y√D = n / (x + y√D) も正。この状況では（つまり n が正の場合には）、【1】の全ての絶対値記号を除去できるはず（絶対値記号の中身は全部正なので）。実際上 x, y がどちらも負でない…と仮定して何も問題ないはずだが、証明を進める上で (x,y) を任意の一つの解とした場合、それらが（両方正だとしても）最小ではない正の解だとすると、以下の方法では最小の正の解に還元できない可能性がある。一方、上記と同様の議論により、少なくとも
「n が正のとき、x + y√D が正なら、x − y√D も正」
とは言える。たとえ y が負だとしても x が十分大きい正の値を持ち x + y√D が正なら、この点に関しては、それで足りる。

【3】　さて、対応するペル方程式 x^2 − Dy^2 = 1 の最小の正の解を (s,t) として、u = s + t√D と置く。拡張ペル方程式の基本性質により:
「x ± y√D が解を表すとき、任意の整数 k について
X ± Y√D = (x ± y√D)u^±k　［複号同順］
は、どれも同じ方程式の異なる解を表す。」…みたいなことが言える（この部分は証明が必要）。
そんなこんなで、【1】の log の底を u とすると、
a = log |x + y√D|
b = log |x − y√D|
が解に対応する対数なら、A = a+k, B = b−k もまた解に対応する対数…みたいなことが言える。【1】で見たように q は固定されているが、r については、解の種類に応じて
r = (A−B)/2 = ((a+k)−(b−k))/2 = (a−b)/2 + k
となり、最初の拡張ペル方程式の解を選び直すことによって、r に任意の整数 k を足すことができる（説明は少々いいかげんだが、この結論は正しい）。つまり、この系列の解たちに対応して、r が取り得る値は、数直線上において間隔1で並んでいる。従って、必ずそのどれか一つは区間 (−1/2,1/2] に入る。そのような r に対応している解 (X,Y) を選択することによって
|r| ≤ 1/2
を保証できる。このとき、もし X, Y がどちらも負でないなら、【1】の考察により
0 ≤ r ≤ 1/2
となる。このように、ここでうまく絶対値記号を外せるなら話が早いのだが、それが面倒（あるいは不可能）なら、単に r が負のケースを分けて議論した方が手っ取り早い。

ここまで来れば、2020年7月版までのコンラッドの不等式は容易に得られる。幾何学的には q は a と b の中点（平均値）。q を中心に半径 |r| の円を描くと、それは a, b と交わる。

数学・プログラミング

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触って分かる公開鍵暗号RSA (2004-02-04): 理論的説明でなく、実地に体験。JavaScriptで実現したので結構注目され、大学の授業などの参考資料としても使われたらしい。ダサい実装だが、ちゃんと動作する。
デスノートをさがして: 論理パズル (2006-04-10): 真神・偽神・乱神。間違いだらけの乱神探し。

天文・暦

13日は金曜になりやすく31日は水曜になりにくい (2017-09-03): 曜日は「日月火…」の繰り返しだから各曜日は均等のようだが、「毎月1日の曜日」「13日の曜日」のように「特定の日にちが何曜になるか」を考えると、曜日分布に偏りが… 〔v6: 2019年4月21日〕
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公式不要の明快な曜日計算 (2016-10-23): 公式や表を使わず、何も覚えていない状態で、手軽に任意の年月日の曜日を暗算。
ぼくの名前は冥王星 (2013-09-30): いいもん、いいもん！これからは小惑星になって、ジュノーちゃんやベスタちゃんと遊ぶから！ …と思っていたら、「おまえは小惑星でもないんだよ」と言われてしまった。そんなー。ぼくのアイデンティティーは粉々さ。〔v6: 2019年3月24日〕
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24): 海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
第9惑星・追悼演説 (2019-03-24): 我々は一つの惑星を失った。しかし、これは「終わり」を意味するのか？　否、始まりなのだ！
ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ） (2018-01-14): 微積分を使わず、算数的にケプラー方程式を導く。倍角・半角などの公式を使わずに、離角の関係を導く。特別な予備知識は不要。〔最終更新: 2018年2月4日〕
ケプラー方程式・2　エロい感じの言葉 (2018-01-28): 「ケプラー方程式（微積・三角公式を使わないアプローチ）」の別解・発展。〔最終更新: 2018年2月4日〕

シリア語・Unicode・詩

シリア語: カラバシ注解 (2013-12-01): カラバシ『読み方のレッスン』はシリア語文語・西方言の教科書。ウェブ上で公開されている。その魅力を紹介し、第1巻全21課に注釈を付けた。〔最終更新: 2016年5月8日〕
ばびっと数え歌　シリア語編 (2014-02-09): 「シリア語の数詞の1～10」を覚えるための数え歌。「ごんべさんの赤ちゃん」のメロディーでも歌えます。〔最終更新: 2017年12月24日〕
ペシタ福音書における「女性聖霊・男性聖霊」の混在について (2014-12-14): キリスト教の「聖霊」はイエス自身の言語では女性だったが、後に男性イメージに変化した。この変化は興味深いが、そこに注目し過ぎると中間期の状況が正しく理解できない。3種類のシリア語聖書とギリシャ語聖書を比較し「叙述トリック」を検証。〔最終更新: 2018年11月4日〕
少年と雲　（シリア語の詩） (2017-12-24): 雲さん、どこから来たんだい？／背中に何をしょってるの？／そんなに顔を曇らせて／空から何を見ているの？
黙示録の奇妙な誤訳: 楽しいシリア語の世界 (2018-04-15): 「南の子午線を飛ぶハゲタカ」が、なぜか「尾が血まみれのハゲタカ」に…。誤訳の裏にドラマあり。〔最終更新: 2018年5月6日〕
ターナ文字入門: 表記と発音 (2013-01-16): 以前公開していた記事を全面改訂。ターナ文字は、インドの南、南北1000キロにわたって散らばる島々で使われる文字。〔最終更新: 2014年5月4日〕
HTML5 の bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04): ブログのコメント欄で起きる身近な例を出発点に、双方向性が絡む問題と解決法を探る。HTML の dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。〔最終更新: 2014年4月27日〕
空は青くて真白くて (2014-11-23): 「わたしの心は躍り上がる」（ワーズワース）／「空は青くて白くて」（フィンランド民謡）

ジョーク

未来の水　フリーズドライ ☆ 粉末乾燥水 (2012-04-01): 宇宙旅行のお供に／非常時の備えに…　場所を取らない超軽量・携帯用のインスタントお水です。
イヤ～な「金縛り」を強制解除 ☆ 全自動かなほど機 (2019-04-01): 睡眠中の金縛り。嫌なものですね…。そこでご紹介するのが、この「かなほど機」。金縛りになったとき、ワサビの匂いで身体を自動リセットする未来の製品です。
さよなら第9惑星・冥王星　カイパーベルト終着駅 (2019-03-24): 海王星～海王星～。目蒲（めかま）線はお乗り換えです。
漢詩と唐代キリスト教　「日本の影響」説も (2019-04-01): 「客舍（かくしゃ）青青（せいせい）　柳色（りゅうしょく）新たなり」仏教徒でもあった唐の大詩人・王維（おうい）。彼がキリスト教とも関わっていたことは、ほとんど知られていない。（エイプリルフールのジョーク記事）
円周率は12個の2　スパコンで判明／ほか　3題 (2016-04-01): 三原則ロボットおちょくられて仕返し？／円周率は12個の2　スパコンで判明／人間を模倣する学習AI　学習し過ぎ？
ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義 (2005-02-19): JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験 (2005-02-20): お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」 (2005-09-23): ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界 (2006-08-21): 水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会 (2009-07-31): 応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画　（チラ裏3題） (2019-04-28): バナブレは「漫画で何ができるのか？」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国（わたくに）は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か？ (2006-01-28): ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ (2006-01-22): 「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ！」　お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏: アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20): 字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門　中級編 (2004-08-27): 二つの入門編（音声タイミング・基本スタイリング）に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト (2005-12-21): 単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ (2006–2009): 字幕と音声のずらし方／縁ワイプ／字幕のリップシンク／縦カラオケ／他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず (2019-02-24): ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ？〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山　（チラ裏3題） (2019-04-14): 3丁目が見えない理由（先行きの不安）は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死ではないから星は輝く　（チラ裏3題） (2019-04-14): 「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか？ (2014-11-23): 南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」 (2004-10-04): 「天にましますわれらの父よ」　神「はい？」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス (2004-10-04): 人間の心理的困難があまりに大きいようなので、それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語　3題 (2005-07-02): 王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー (2009-02-03): Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

リンク集

メモ -　シリア語
BES — Battle Encoder Shirasé 1.8.0.22 (アーカイブ)
a3r: ASS timing/typesetting 0.1.9.1 (Download)
4l Keyboard Layout (US) (v0.9.9.0)
Lagarith Lossless Video Codec 1.3.27
LAME 3.100 (ACM)
aoTuV / oggenc2.88
x264 msystem.waw.pl / videolan.org
Mosu’s mkvtoolnix (Win)

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