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最新記事 妖精の森 ♌ ペル方程式の夏(2020-12-27)

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チラ裏コーナー過去のチラ裏

2021-01-19 arccos の分かりにくさを何とかしたい

cos(コサイン)の一つの解釈は「与えられた角度 x について、一定の三角形の底辺の長さ z を調べること」。コンセプトは難しくない。入力 x は容易に実数全体に拡張され、さらにオイラーの公式を経由して複素数全体にまで拡張される。問題はその逆算。z が与えられたとして「cos に何を入れると z になるか?」

これも意味は分かりやすいが、文献・資料に不透明な記述が多い。一例として、これを書いている時点で、ウィキペディア英語版・フランス語版・日本語版がそれぞれ独自の主張をしている。

英語版の主張 acosE(z) = −i log (z + 1 − z2) <これは間違い>

フランス語版の主張 acosF(z) = −i log (z + z2 − 1)

日本語版の主張 acosJ(z) = −i log (z − i1 − z2)

日本語版は多値関数として正しいが、平方根の符号の選択に疑問があり、書きかけの注釈のようなものが付いている。フランス語版は多値関数として最も素直で、これを主値にしたいくらいだが、現実の事実標準はこの形ではなく、次のようになる。

事実標準 arccos(z) = −i log (z + i1 − z2)

なぜかというと、単に「その方が便利だから」。具体例で検証しながら、その意味を整理してみたい。

【1】 オイラーの公式から z = cos x = (eix)/2 + (e−ix)/2 = (eix)/2 + 1/(2eix) と書ける。当たり前の変形のようだが、厳密に言うと、−1 が整数だから e−ix = (eix)−1 = 1/(eix) が成立するのである。

eix を A とすると z = A/2 + 1/(2A)。両辺を 2A 倍すると 2Az = A2 + 1、つまり A2 − 2zA + 1 = 0。この2次方程式を解くと:

A = (2z ± 4z2 − 4) / 2 = z ± z2 − 1

A を eix に戻すと  eix = z ± z2 − 1

両辺の対数を取ると  ix = log (z ± z2 − 1)

両辺を −i 倍すると  x = −i log (z ± z2 − 1)

…ここまでは紛れの余地はない。

【2】 z = cos x の逆算は、2パターンあることが分かった:
x = f(z) = −i log (z + z2 − 1)
x = g(z) = −i log (z − z2 − 1)

f(z) は、前記フランス語版 の acosF(z) であり、根号について「プラス・マイナス2個の値を取る多値関数」と解釈すれば、数学的にはこれで問題解決。数値計算のため、便宜上、プラス版の f とマイナス版の g に分けておく。

簡単な具体例で確かめてみよう。cos 30° = cos (π/6) = √3 / 2 = 0.866… なので、直観的には逆関数に z = 0.866… を代入すると π/6 = 0.523… に戻ってほしい。z = √3 / 2 のとき z2 = 3/4, z2 − 1 = −1/4。その平方根の主値は i/2。従って:
f(√3 / 2) = −i log (√3 / 2 + i/2) = −i log [cos (π/6) + i sin (π/6)]

上記の log は「e を何乗すると cos (π/6) + i sin (π/6) になるか?」という値だが、オイラーの公式から eiπ/6 = cos (π/6) + i sin (π/6) なので、その一つの答えは iπ/6 = 0.523… × i。この値を使うと:
f(√3 / 2) = −i × iπ/6 = π/6

めでたく π/6 に戻ってくれた! 今使った複素数 iπ/6 は、対数関数の主値。話を簡単にするため、対数関数についてはとりあえず主値だけを考える。上記と同様に:
g(√3 / 2) = −i log (√3 / 2 − i/2) = −i log [cos (−π/6) + i sin (−π/6)] = −π/6

この値も cos に入れれば同じ √3 / 2 なるので、cos の逆算としては間違っていない。しかし正でも負でもいいのなら、普通は正を主値とする。実数の範囲の arccos の常識的な定義であり、異論はないだろう。

【3】 では f(z) を arccos の主値と定義とすれば、複素数の範囲でも、全て丸く収まるのか? 問題はそこなんだよねぇ…。具体例として cos i = 1.543… を考えてみる。この値は z = cosh 1 = (e + 1/e) / 2。直観的には、これを arccos に入れると i に戻ってほしい。z がこの値のとき、簡単な計算によると:
z2 − 1 = (sinh 1)2 = 1.381…
z2 − 1 = sinh 1 = (e − 1/e) / 2 = 1.175…
z + z2 − 1 = e
f(z) = −i log e = −i × 1 = −i

何たることか、i に戻ってくれない…。一方:
z − z2 − 1 = 1/e
g(z) = −i log (1/e) = −i × (−1) = i

こっちの枝なら i に戻ってくれる…。

【4】 f(z) を主値とすると、【3】で見たように arccos (cos i) = i にならない。だからといって g(z) を主値とすると、【2】で見たように実変数・実数値の場合、符号が直観と逆になり、ますます都合が悪い。主値というのは、もともと便宜上の取り決めで、(実数の範囲では常識的に決まっているとはいえ)数学的な必然性があるわけではない。主値ばかりにこだわると、多値関数 arccos の全体像を見通せなくなり、数学的にむしろ有害ですらある。応用上も「与えられた z について、z = cos x を満たす x を一つ見つければ十分」という状況では、どの値を選ぼうが(主値が何であろうが)構わない。

とはいうものの、とりあえず主値を定義しないと、数値計算ができない。数学上は f(z) で主値を定義しても差し支えないのだが、そうすると上記のように arccos (cos i) = i にならず、感覚的な問題がある。そこで…

x = arccos(z) = −i log [z + (z2 − 1)1/2] ☆☆
= −i log {z + [(−1) × (1 − z2)]1/2} ☆
= −i log [z + (−1)1/2 × (1 − z2)1/2] ★
= −i log [z + i(1 − z2)1/2] ★★

☆☆は既に得ている f(z) だが、それを★★の形に書き換えてみる。数学的には☆☆のままでいいのに、なぜそれをわざわざ少し複雑な形に書き換えるのか?

【5】 まず形式的な面をチェックしよう。☆は (z2 − 1) を (−1) × (1 − z2) と書き直しただけ(複素数の範囲でも常に成立)。★は、多値バージョンの「2分の1乗」に限って成立する変形。主値バージョンの平方根では、必ずしも成り立たない。例えば、3 = 91/2 = [(−1)(−9)]1/2 と書くまでは問題ないが、それを = (−1)1/2 × (−9)1/2 = i × 3i = −3 とすれば矛盾。上記では「2分の1乗」(平方根)を多値関数と考えることで、この変形が許される。

理屈としては ★★の i の先頭にも±が付くはずだが、その複号は (1 − z2)1/2 の「2分の1乗」によって既に含意されている(これは多値バージョンなので)。

☆☆と★★は、多値関数としては同等なので、問題は主値の選択に関わっている。【2】【3】で見たように、主値バージョンを「感覚的に好ましく」するためには f の枝と g の枝を使い分ける必要があるが、実は★★の形にすると、この使い分けが「自動化」される。つまり、主値として☆から★の変形が成立するなら、★★は f(z) と等価、成立しないなら、★★は g(z) と等価。この切り分けが、都合よく「感覚的に好ましい使い分け」と一致してくれる。(さらにボーナス特典として、★★を使って主値を選ぶと、実数の範囲の基本公式 arcsin z + arccos z = π/2 が、複素数の範囲でも維持される。)

【6】 以上のように、☆☆を★★に変形することにはメリットがあるのだが、教科書ではその辺が説明されていないことが多い。多値関数としてはどちらでも同じなのだから「変形していけない」ということはないのだが、一見しただけでは「変形しなければならない」というモチベーションも感じられない。その点が不満足であり、不透明に感じられる。再び具体的な数値例で検証してみよう。

主値として☆から★に行けるか?というのは、要するに
z2 − 1 = i 1 − z2 (♪)
が成り立つか?という問題。z が実数で絶対値が1以下なら、これが成り立つのは明白。従って最初の例【2】の z = √3 / 2 = 0.866… について、★★は f(z) と同じであり、都合がいい。一方、z が実数で絶対値が1より大きいとき、(♪)の左辺は正、右辺は負になり、この等式は成り立たない(符号が逆になる)。よって【3】の z = 1.543… の場合、★★と f(z) は符号が逆。これは★★が g(z) と同じという意味であり、【3】で見たように、その方がむしろ都合がいい。

主値の選択は便宜的なもので「証明」できるようなことではないが、このように具体例を考えることで、★★の定義が好都合であることが実感されるだろう。

2021-01-14 変てこ38面体 「アルキメデスの立体」13種の一つ

怪人二十面相なるものがあるが、この子は三十八面体。「ねじれ立方体」などと呼ばれるもの。

PNG画像

立方体も弾けたい!

立方体の6面がそれぞれ独立して、向きを保ったまま、中心から離れるように少し動いたとする。分離して宙に浮かぶ6面(正方形)。どれもちょっとだけ、時計回りにひねる。…うまく加減すると「もともとの立方体で一つの辺だった2辺」を2個の正三角形で連結できる状態になるので、連結しよう。各正方形の4辺のどれからも、それを底辺とする正三角形が生え、全部ピッタリはまった!

以上で正方形6、正三角形24だが、これだと、まだ正三角形の穴が残っている。それは「どの正方形とも辺を共有してないが、3個の正方形の頂点を結ぶのに必要な正三角形」。

これらの穴にも正三角形をはめ込む。穴埋めで追加された正三角形は、「天井」の正方形の各頂点に接する4カ所、「床」の正方形の各頂点に接する4カ所。「側面」には穴がないので、これで38面体(正方形6、正三角形32)の出来上がり…。

この多面体のいろいろな値(例えば体積)には、なぜかトリボナッチ(トライボナッチ)定数 1.83928… が絡んでいる。アルキメデスの立体の中で、トップクラスの複雑さ…。頂点の数は、正方形6個の頂点の総数24に等しい。辺の数は、面から考えると 6 × 4 + 32 × 3 = 120 だが、どの接合部でも2辺が一つになっているので、実際にはその半分60。頂点の数も、面から考えると120だが、各頂点で5辺が接しているので、実際には5分の1の24。…双対多面体は、「三等辺・二等辺・四等角・左右対称の五角形」から成る24面体。正五角形は黄金比を含んでいるので、五角形から成る多面体に「黄金比の3次元版」が現れる…というのは、あり得る話に思える。

ところで「ねじれ立方体」には、鏡像関係の2バージョンがある。最初の画像は「左」バージョンらしい。

JPEG画像

Image credits: Snub cube (Left) = CC-BY-4.0 by Watchduck; Snub cubes (Left/Right) = CC-BY-3.0 by Frankee 67.

補足 前回は、カルダノ版をちゃんと最後まで簡約せず、数値が出せたところで放り出してしまった。

x = 319/27 + √11/27 + 319/27 − √11/27 + 1/3 = 1.839286755…

根号内の分母を全部なくし、全体を 1/3 でくくれる。実際、√11/27 = √(11 × 27)/(27 × 27) = √11 × 3 × 9 / √27 × 27 = 3√33 / 27 なので、上記1個目の立方根は 3(19 + 3√33) / 27 = 3(19 + 3√33) / 327 = 319 + 3√33 / 3 に等しい。2個目の立方根も同様。結局:

トリボナッチ定数
[319 + 3√33 + 319 − 3√33 + 1] / 3
= 1.839286755214… (一晩サンキュー、二晩無理な、ここにいよう)

三角関数で表すと [4 triscos (19/8) + 1] / 3
…ここで triscos θ = cos [(arccos θ)/3]

103/56 はシンプルで優秀な近似分数(誤差=約100万分の1)。この分数を得るには、実際に1万以下の範囲のトリボナッチ数列を書いてみて、最後の2項の比 5768/3136 を約分すればいい。(31461/17105 はさらに優秀だが、シンプルではないし、実際の数列からも生成できない。)


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ISOとJISによる「ハッカー」の正式な定義(2005-02-19)
JIS規格では「ハッカー」という言葉が定義されてる。
ヒマワリをふてくされさせる実験(2005-02-20)
お花はとってもデリケート。
「確信犯」たちの「開発動機」(2005-09-23)
ストラビンスキー「ファゴット奏者を苦しめてやろうとしてやった。苦しそうな音なら何でも良かった」
「水からの伝言」の世界(2006-08-21)
水さん、ちょっと漏れ過ぎです。
脳内ディベート大会(2009-07-31)
応援団を応援することは正しいか。タンポポの綿毛を吹いて飛ばしていいか。

漫画・アニメ

大島弓子の漫画 (チラ裏3題)(2019-04-28)
バナブレは「漫画で何ができるのか?」という世界の枠組みそのものを変えた。綿国(わたくに)は、漫画・アニメ史上「猫耳の発明」という意味も持つ。もともとは「自分は半分人間だと思っている子猫」の主観的世界を表す絶妙な表現。
ラピュタ滅びの呪文は波動砲かフェーザー砲か?(2006-01-28)
ムスカは、ジブリ作品では珍しい悪役と評されるが、ラピュタ文字の解読は、現実世界ならノーベル賞もの。
勇者よ、侵略者から東京を守れ(2006-01-22)
「ブジュンブラにキメラアニマが現れたわ!」 お気に入りのネタだが、アニオタ以外の一般人には意味不明かも。
チラ裏
アニメ関係の小ネタも多い。イタリアのアニメ事情もあるよ。

字幕

MKV埋め込み字幕用フォントのMIME問題 (2019-10-20)
字幕用フォントが、ロードされない事例が起きている。問題の背景・対策・対応状況。
SSA入門 中級編(2004-08-27)
二つの入門編(音声タイミング・基本スタイリング)に続くフレーム・タイミング関連の内容。古い記事で使用ツールは時代遅れだが、考え方は依然参考になるかも。
[SSA/ASS] 高品質のフェイドイン・フェイドアウト(2005-12-21)
単純な fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。
ASS: 縁ワイプと縦カラオケ(2006–2009)
字幕と音声のずらし方/縁ワイプ/字幕のリップシンク/縦カラオケ/他。古い記事だが参考までに。

哲学・ファンタジー

60%他の生物【人体の細胞】100%星くず(2019-02-24)
ヒトの体は約25兆の細胞から成るが、体には65兆の細胞が…。本人以外の40兆は何なんでしょ? 〔v8: 2019年4月18日〕
至るところ青山 (チラ裏3題)(2019-04-14)
3丁目が見えない理由(先行きの不安)は、1丁目にいるからで、2丁目まで行けば自然と選択肢は狭まる。
不死ではないから星は輝く (チラ裏3題)(2019-04-14)
「核融合には燃料が必要。燃料を使い果たせば反応は止まる」という当たり前のことを言い換えると「いつかは終わるから今輝いている」。
猫のしっぽを思い切り引っ張ることは十戒のどれに違反するか?(2014-11-23)
南泉は言った。「この猫の命が惜しければ、禅を一言で語れ。さもないと猫を斬り殺す」 〔最終更新: 2019年4月24日〕
神から見た「主の祈り」(2004-10-04)
「天にましますわれらの父よ」 神「はい?」 — へリング牧師は、ジョークのような設定で深い問題を提示した。 〔最終更新: 2013年10月2日〕
「無断コピー以外」を禁止するライセンス(2004-10-04)
人間の心理的困難があまりに大きいようなので、 それに対抗するために、次のような新しいライセンス形態を思いつくほどだ。いわく…
妖精物語 3題(2005-07-02)
王様の赤いばらと白いばら。
「反辞書」の著者フレッド・レスラー(2009-02-03)
Urban Dictionary というサイトをご存じでしょうか。 ウィキペディアみたいな、でもそれよりずっと砕けた新語辞典…

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