妖精現実

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チラ裏コーナー（過去のチラ裏）

2020-06-05　Unicode 14　トト文字

次のバージョンの Unicode で追加予定の新しい文字システムは、今のところ一つだけ。「トト文字」というもの。マニアでも聞いたことがないような、珍しい文字。（その他、新しい絵文字が追加されるかもしれない。）

トト語（Toto language）は、中国語・チベット語・ビルマ語などと同系のマイノリティー言語。現在、インドのたった一つの村で使われているという。村の名前はトトパラ（Totopara: ベンガル語では、二つの t と r はそり舌音）。西ベンガル州・北部、ブータン国境に近い。

こんなマイナー言語に、2015年、独自の文字システムが生まれた！　なぜ普通にラテン文字かベンガル文字を採用しなかったのか？　「自分たちの文字」が欲しかったのかもしれない（カナダの先住民族でもそういうパターンがありますよね）。文字は「クルクル系」で、ちょっとかわいい。

既にPUA（フォント依存のコードポイント＝私的に自由に使える）を使ったフォントもあるみたいだが、Unicode 14 では、公式に U+1E290 以降に追加される予定。詳細については UTC Document Register for 2019 の L2/19-278 と L2/19-330 参照。

その Unicode 14 だが、COVID-19 の影響で、当初の予定よりリリースが遅れるらしい。

COVID-19 というのは、風邪の一種で、現在、世界中で大流行している。大ざっぱに言うと「インフルエンザのようなもの」。かかっても命に別条なく自然に治る人も多いようだが、それが原因で死んでしまう人もいる。そんな怖い風邪がうつると困る → 人が集まるとうつる確率が増える…という考えから、Unicode の仕様を決める国際会議もやむなく延期ということらしい。Unicode 規格が風邪の影響を受けるというのは変な話だが、まあ、世の中いろんなことが起きるもの。そんな重大な事態なので、きっと多くの国々で大ニュースになっているのだろう。世の中ニュースを見ない人もいるし、数年後このメモを読む人には何のことだか分からないかもしれないので、そういうことがあったということを記録しておきたい。

ニュースを見ないのも、そう悪いことではない。毎日2時間テレビを見る人に比べ、1年につき、まるまる24時間×30日の自由時間が手に入る。普通の人の12年間が13年間相当になり、自動的に人生が約1割、増える。もちろん価値観はいろいろなので、テレビの視聴やおしゃべりが生きがい！という人は、その生きがいを追求すればいい。トト文字って何だろう…と、何の役にも立たないようなことを調べる無駄さと、どっちもどっちかも（笑）。

上記の「トト語」のページを見ていたら、数字の1、2、3、4、5は「イ、ニ、スン、ディ、ガ」（i, ni, suŋ, di, ŋa）だそうです。日本語（イチ、ニ、サン、シ、ゴ）の方言と言っても通用するような…。中国語「イー、アー、サン、スー、ウー」の遠い親戚なんでしょうけど、なぜかより日本語っぽい。不思議な偶然？

2020-06-01　野蛮な解法（その16）　サインカーブの波打ち際

「小鳥のホテル」で遊んでいたら、今度は、こんなもんが見つかりました:
1 + sin(344) = 0.00000966049382909903…
1 + cos(355) = 0.00000000045434101983…

前回の系: π ≈ 333/106, 333 ≈ 106π、ゆえに sin(333) ≈ 0, cos²(333) = 1 − sin²(333) ≈ 1。π ≈ 355/113, 355 ≈ 113π についても同様。

きちんと文献を調べたわけではありませんが、鳩の巣原理を使って 1/N 未満のニアミスの存在を導くアプローチは、1842年に Dirichlet が発見したらしい（？）。だとすると、Lagrange が、ペル方程式の解の存在を最初に証明したときは（1760年代？）、別のアプローチを使ったのかな…。

意味ということは、定義上、心の中で起きているマッピングであり、解釈がなければ、意味があるということもないし、意味がないということもないわけです。そうすると、実用上・便宜上の観点からは、起きることには全て意味があると解釈した方が得でしょう。例えば…
ホウレンソウを買うつもりだったのに、間違えて小松菜を買ってしまった
…というとき、「意味のないばかな行為」と解釈して悲しい気持ちになることもできるのですが、楽天的に「今日は小松菜を食べるとラッキーというお告げかもしれないな。小松菜で何を作ろうかな～」と考えてもいいわけで。もっとすごくひどいことが起きた場合でも、何という不条理だと悲嘆に暮れることもできるけれど、「何だか分からないけど、これにはきっと深い意味がある」と考えてみてもいいわけです。注意点として、解釈はあくまで自分の心の中にとどめておくのが無難。悲しんでいる第三者に対して安易に「これは意味のある出来事。元気を出して」などと言うと、往々にして相手が気分を害し、関係がこじれる原因になるからです。ホロコースト犠牲者の遺族に、第三者が「ホロコーストには意味があったんだよ」などと言わない方がいいのは明白でしょう。自分自身が遺族の場合にも「意味がある出来事でした」などというと「頭がおかしい」と思われかねないので、やはり「解釈」はプライベートな心の中の問題にとどめておくのが吉かと…。選択の余地がない場合…例えば、裁判のような公的な場で「遺族の意見」を問われた場合には、控えめに「なるべく軽い罰にしてあげて」くらいは言うかもしれませんが…自分に無関係な論争には、どの陣営にも加わらないのが得策だと思うのです。

しかし sin(344) の値を考えることに何の意味があるのか…と問われた場合、ぶっちゃけ意味がないといえばない。「連分数の循環の周期を数えれば済む話なのに、なぜ全数検索するのか」「なぜ教科書通りに効率的にやらないのか」と問われた場合、何と答えればいいのでしょう…。例えばの話、世の中には「チェスに興味がない人」もいれば「チェスが好きな人」もいれば「チェスなんて、どうせコンピューターにかなわないのに人間がやっても意味がないと考える人」もいるわけで、どの立場であるにせよ、それは心の中の解釈の問題。他人を説得して同意させる必要があることではないでしょう。

2020-05-31　野蛮な解法（その15）　「小鳥のホテル」は不思議がいっぱい

pigeonhole（ピジンホール）を直訳すると「ハト穴」、数学用語としては「鳩の巣」と呼ばれますが、この用語が最初に使われたとき、もともと「ハトの宿舎のように、仕切りのついた区画がいっぱい並んでいる整理ボックス」のような意味だったとか…。でも、かわいいので、ここでは「小鳥のホテル」と呼んじゃいましょう！

「小鳥のホテル」の原理（鳩の巣原理）は、要するに「客室数より多い小鳥さんをチェックインさせたら、最低2羽は相部屋になるよ」…どう考えても当たり前ですが、この当たり前のことが、いろんな不思議と関わってくる…。例えば、
53√89 = 500.0009999990000019999950000139999580001319995…
は、前回の pigeon で遊んでいて見つけた不思議な数。無理数なのに数字の並び方が興味津々。計算自体は簡単に試せるので、Windows ユーザーの方は電卓を起動して [Alt]+[2] で科学計算モードにしてから、
53*89@=
とタイプしてみてください。

さて、この原理を使って x² − dy² = 1 には必ず正の整数解があることを証明するのが本来の目標ですが（それは、パズルとして面白いだけでなく、数学的にも深い意味を持つ）、ここでは寄り道して「円周率にこの計算法を適用したらどうなるか？」ということを少し丁寧に考えてみましょう。

わたしたちは、客室が10個だけある「小鳥のホテル」を作りました。次の11個の数を11羽の小鳥だと思うと…
0π, 1π, 2π, 3π, 4π, 5π, 6π, 7π, 8π, 9π, 10π
…部屋の数より鳥の方が多いので、少なくともどれか2羽が相部屋になることは明白。部屋の割り当て方は、小数部分が 0.0台なら「0号室」、0.1台なら「1号室」、0.2台なら「2号室」…0.9台なら「9号室」として、例えば、8π = 25.13… は「1号室」に入れます。でも 1π = 3.14… も「1号室」なので、1π, 8π は相部屋に。これは、jπ, kπ の小数部分の差が 1/N 未満になるような、0以上N以下の相異なる整数 j, k が存在する…ということ（この場合 N=10, j=1, k=8）。ホテルの構造上、客室数より客の方が多いのだから、問題にする数が π でなくても、あるいは、部屋の数 N が10でなくても、常に同様のことが成立。

かくして 1π, 8π の小数部分はだいたい同じなので（両方とも0.1台）、この二つの数の差は、整数に近い:
7π = 8π − 1π = 25.1327412… − 3.1415926… ≈ 21.9911486
= 22 − 0.0088514
この 0.0088514 の逆数 を計算すると、112.976…。つまり 7π は、整数22と、距離1/112 程度のニアミスを起こす。幅1/10の区間に2羽の小鳥を入れるので、小鳥同士が距離1/10未満まで接近するのは確実ですが、実際には1/112以内まで接近しています。この観察を基に、今度は小数部分を1/113単位で区切れば（※）、さらに際どい1/113未満のニアミスが確実に起きる（※小数部分が0/113以上1/113未満なら0号室、1/113以上2/113未満なら1号室…というふうに、113室のホテルに114羽の小鳥たちを割り当てる）。

やってみると…0番の小鳥 0π = 0.0 と、106番の小鳥 106π = 333.008821… の小数部分の差は、実際 1/113 = 0.008849… 未満（N=113）。106π は距離 0.008821 ≈ 1/113 まで整数に接近しました。前回が1/112程度なので、1/113では大して違いがないようですが、
22/7 = 3.142857…
333/106 = 3.141509…
なので、近似精度は確実にアップ！　調子に乗って、今度は部屋の幅を1/114にすると（N=114）、1π = 3.14159… と 114π = 358.14156… の小数部分が、1/33173 程度のすごいニアミス。両者の差を考え分数を作ると:
355/113 = 3.14159292…
小数6桁目まで正しい（有名な）近似分数が得られました。さらに調子に乗って N=33174 にすると、ニアミス度は約1/52275。9桁目まで正しい近似分数が得られます:
103993/33102 = 3.14159265301…

以下同様に、ニアミス度の分母が n 台のとき、n+1 を次の N にして新しいホテルを作ればニアミス度が上がり、そこから、より優秀な近似分数が得られます。教科書的にはこれは「円周率の連分数展開」というお決まりの話題ですが、このように「小鳥のホテル」を考えると…
　必ずニアミス（相部屋）が起きるのは当たり前（整数に近い数が現れるので、それを使って簡単に近似分数を作れる）
　Nの選択によって、必ず前回より際どいニアミスを引き起こせる＝無限に（いくらでも高精度の）近似分数を作れる
…ということが実感でき、天下り的で無味乾燥な連分数の話より面白いのでは…。といっても、実用上の計算は、直接、連分数として計算した方がはるかに効率的ですが。ときめく方がいいよね！

ボーナスクイズ: プログラム上で「少なくとも10万羽の小鳥を収容できるホテル」を実装し、あと3歩先まで近似分数を作ってください。分母が10万までの範囲での、円周率の最良近似分数を見つけてください。実行する前に、その近似分数の値が円周率の真の値とどのくらい一致するか、勘で予想してください。小数20桁くらい？　10桁くらい？　10桁いかない？

2020-05-28　野蛮な解法（その14）　ふしぎなふしぎなハト・ホテル

次の短いPARIコードの意味は…

pigeon(x,N) = {
 my( h = Map(), f, r, j );
 for( k=0, N, f=frac(k*x); r=floor(f/(1/N));
      if( mapisdefined(h,r,&j), return(k-j), mapput(h,r,k) ) );
}

N個の客室があるハトのホテル（ハト小屋）を作ります（Nは自然数）。k=0番のハトから、k=N番のハトまで、最大 N+1羽のハトさんをチェックインさせようとしますが、客室はN個しかないので、絶対どこかで問題（ダブルブッキング）が生じます（笑）。k番目のハトには、k*x の小数部分 f に応じて r号室を割り当てますが、ダブルブッキングの問題があるので、ハトを入れる前に、そこが今空室かどうか確認。既に先客がその部屋を使っている場合、割り当てマップを見ると「j番のハトがその部屋を使用中」と分かるので、その場合、ホテルを終了し k−j を返します。そういう問題がなければ、ハトさんを r号室（現在空室）に入れ、ホテルの営業を続けます。例えば…

gp > pigeon(Pi,10)
k=0 : k*x=0 : r=0
k=1 : k*x=3.141592653589793238462643383 : r=1
k=2 : k*x=6.283185307179586476925286767 : r=2
k=3 : k*x=9.424777960769379715387930150 : r=4
k=4 : k*x=12.56637061435917295385057353 : r=5
k=5 : k*x=15.70796326794896619231321692 : r=7
k=6 : k*x=18.84955592153875943077586030 : r=8
k=7 : k*x=21.99114857512855266923850368 : r=9
k=8 : k*x=25.13274122871834590770114707 : r=1

この例では、円周率について、部屋が10個のハト・ホテルを作りました。円周率の2倍は小数部分が0.2台なので、ハト2を2号室へ入れる。円周率の3倍は小数部分が0.4台なので、ハト3を4号室に。…同様に続けると、ハト8は1号室に行くはずですが、そこは既にハト1が使用中なので、そこでストップ。8−1=7 を返します。これは「円周率の7倍は整数に近い」ということを意味しています（なぜでしょう？）。

もっと部屋の数が大きい（細かく部屋割りをできる）ホテルの例。pigeon(Pi,1000) とすると 113 が返ります。pigeon(Pi,10^6) なら 66317 が…。実際、
113π = 354.9999698556466359462787023
66317π = 208341.0000081143181951271213
は、非常に整数に近い値を持っています。これらの数値に見覚えのある方も多いでしょう。特に π ≈ 22/7 や π ≈ 355/113 は有名なので…。

円周率に限らず、任意の正の無理数 x について、同様のことを実行でき、この原理を出発点として「d が平方数の場合を除き、ペル方程式には、必ず正の整数解が存在する」ということを証明できるのです。

注: このコードは必ずしも最適近似を与えません。「一番際どいニアミスが起きる場所」を全数検索せず、単にダブルブッキングが判明したら、緩めのニアミスでも検索を打ち切るから。とはいえ、1/N オーダーのニアミスを誘発するので、最適でないとしても、N を大きくすればするほど、いくらでも高精度の近似分数が得られます。

2020-05-26　ゴキブリと猫

画像＝ブッシュ・コクローチ（Ellipsidion humerale）: オーストラリア原産の美しい昆虫（チャバネゴキブリ科）。ブリズベンでは、どこにでもいるような虫らしい。無害なので、別に嫌われてない。Credit: Bjenks (Brian Jenkins): CC-BY-SA-4.0

ゴキブリと猫には、共通点が多い。

人間にとって、ゴキブリはアレルギーやぜんそくの原因になるが、猫もアレルギーや引っかき傷の原因になる。ゴキブリは病原菌を運ぶかもしれないが、猫もノミを運ぶかもしれない。猫は寝てばかりいる。ゴキブリも1日の大半をじっとして過ごすという。猫は強靱で高所から落ちても平気。ゴキブリも強靱で水に溺れても平気。猫は敏しょうで勘がいいが、ゴキブリも素早く勘がいい。ゴキブリはやたらと増えるが、野良猫もやたらと増える…

このように、抽象的な意味では両者はよく似ているが、ゴキブリは一般人から嫌われ、一方、猫は溺愛されている。不思議なことだ。猫は人間の脳をハッキングして「ノミを運ぶし、アレルギーの原因になるし、家具を引っかくし、やたらと放尿するが、それでもかわいい！」と思わせることで、種の存続を図っているのかもしれない。

逆に人家に住むゴキブリは、あえて住人の敵意をあおり、のろまな仲間を殺させることで、エリートだけが生き残る仕組みを自らに課し、個体数の爆発的増加による自滅を防いでいるのかもしれない。

ゴキブリ目には数千種の昆虫がいる。無害な種も多い。大抵の人は、その数種類しか知らない…。例えるなら「ある町（あなたの住まい）は治安が悪い」という知識だけで「地球人は全員悪」と決め付けるようなもの。相手は、古生代から数億年も存続している賢い生き物。それに比べると、ひよっこの人間（あと100年続くかも疑問）は、いまいちアホな面もあるようだ。ゴキブリはともかく、クモのような無害な生き物を恐れ、害虫扱いする人も少なくない。脳の回路にバグでもあるのか、後天的学習に不具合があるのか…まあ確かに危険な虫もいるのですから、安全寄りに倒して「虫はデフォルトで全部やばい！」と判定するのは、生存の知恵なのかもしれません。（結果的に、大部分の虫は「誤判定」により不当に嫌われているわけですが…）