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チラ裏
2021-04-18 1 の √2 乗は単位円上で稠密 整数の偏角も稠密
数直線上では、整数は飛び飛びに並んでいて、稠密（ちゅうみつ＝ギッシリ）ではない。なぜ単位円上では、稠密になるのか…？
恐らく宇宙が生まれてから消滅するまでの間…
ほとんど全ての実数は、一度も、どの星でも、使われることがない。
ランダムに選んだたった一つの実数ですら、それを表現する方法がない。
語り得ぬ対象なので、そもそも「ランダムに選ぶ」こと自体、不可能。
にもかかわらず、平然と「任意の実数 x」について語る奇妙さ！
【1】 0 以外の数は、相異なる2個の平方根を持ち、相異なる3個の立方根を持ち、相異なる4個の4乗根を持つ。100乗根なら100個、1000乗根なら1000個。無理数、例えば
√2 = 1.41421356…
という指数は、大ざっぱに 141/100 乗だと思えば、1/100 乗（つまり 100 乗根 ―― それは相異なる100個の値を持つ）のそれぞれを 141 乗したものだから、100個の値を持つ。もう少し細かく 1414213/1000000 だと思えば、100万乗根のそれぞれを 141万4213 乗したものだから、100万個の値を持つ。この「近似」は無限に細かく続けられるので、「無理数乗」が多価関数として無限個の値を持ち得ること自体は、直観的には当たり前に思える。
もう少しきちんと考えてみよう。
【2】 k を任意の整数とする。多価関数として log 1 = 0 + k(2πi) なので:
1√2 = exp (√2 log 1) = exp (√2 × 2kπi) = exp (2√2kπi)
k = 0 のとき、この exp は 1 で偏角は 0。もし仮に 1√2 が有限個の値しか持たないとするなら、何乗かすると偏角 0 に戻らなければならない。それは「ある正の整数 k に対して 2√2k が 2 の倍数になる」という意味だが、その2の倍数を 2n と書くと
2√2k = 2n
√2 = n/k = 有理数
となって矛盾。従って上記「もし仮に」は成り立たず、1√2 は無限個の値を持つ。
無限個といっても、偏角が 2√2π の整数倍の点にしかタッチできない…。こんなスカスカな「点の集合」が、本当に稠密なのだろうか。でたらめに選んだ偏角、例えば 7/9 = 0.77777… に限りなく接近できるのだろうか、mod 2π で？
別の角度から考えてみよう。もし 0 でない整数 k を次々と選択して、角度 θ = Arg exp (2√2kπi) が限りなく 0 に近づくようにできるとしたら…？
その微小な角度 θ の整数倍の偏角を持つ点には全てタッチできるのだから、単位円上の任意の点に対して、最悪でも誤差 |θ| 未満まで接近できることになる。以下で見るように、√2 の整数倍はいくらでも整数に近づくので、そのような θ を実際に構成できる。
証明は、部屋割り論法（鳩の巣原理）による。例えば、小数点以下の最初の2桁によって、次のように鳩（数値）を0号室～99号室の100個の部屋に入れると、遅くとも鳩100番が入室した時点で、鳩が2羽以上入っている部屋がある（部屋が100個しかないのに、鳩が101羽いるので、必ず衝突が起きる）。同室になる2羽の鳩は、小数第1位と第2位が等しいので、その差は整数に近い。
…実際、72√2 − 2√2 = 70√2 = 98.9949… は整数に近いので、n = 70 のとき偏角 2√2nπ は 2π の整数倍に近く、0 に近い角度を表す（360° = 2π の整数倍の違いを無視）。同様の議論によって:
任意の正の整数 N について、1 ≤ n ≤ N の範囲に、次の条件を満たす整数 n が少なくとも一つ存在する。
条件 n√2 は、整数との差が 1/N 未満
＜例1＞ N = 10000 のとき n = 5741 が条件と満たす。実際 5741√2 = 8119.00006158…。整数との誤差は約 1/16238。
＜例2＞ 例1の誤差 1/16238 では満足できないとしよう。そこで N = 16239 とすると、n = 13860 が条件を満たす。実際 13860√2 = 19600.9999744…。整数との誤差は約 1/39201。
＜例3＞ 例2の誤差 1/39201 でも満足できないとしよう。そこで N = 39202 とすると、n = 33461。実際 33461√2 = 47321.0000105661…。整数との誤差は約 1/94642。
…この方法で、どんどん 0 に近づく θ = Arg exp (2√2nπi) の列が一つ得られる。単位円上の任意の点 P の偏角を φ とすると、nθ ≤ φ < (n+1)θ を満たす整数 n が存在して、nθ と φ の差の絶対値は |θ| 未満。
＜例4＞ 偏角 7/9 = 0.77777… の近傍に行く例。鳩の巣により、いくらでも整数に近い n√2 の存在が保証されている。具体例として、
n = 9369319 ⇒ n√2 = 13250217.999999924529…
を使うと、
θ = Arg exp (2√2nπi) = −0.000000474194…
の絶対値は、十分に小さい。7/9 = 0.77777… は θ の何倍くらいだろうか。(7/9) ÷ θ を計算すると、答えは約 −1640207.09。7/9 は (−1640208)θ と (−1640207)θ の間にあり、どちらの係数を使っても、誤差は θ を超えない:
k = −1640208n = −15367631978352 ⇒ Arg exp (2√2kπi) = 0.7777782075976…
k = −1640207n = −15367622609033 ⇒ Arg exp (2√2kπi) = 0.7777777334028…
どんな小さい正の数 ε を考えたとしても、k をうまく選べば f(k) = Arg exp (2√2kπi) は、誤差 ±ε の範囲で 7/9 に接近できる（範囲指定）。これは「k をうまく選べば f(k) = 7/9 が正確に成り立つ」という意味（ピンポイント指定）ではない。7/9 に限らず、任意の実数 x が与えられたとき、f(k) は、x といくらでも近い値を持つことができるが（2π の整数倍の違いを無視して）、x とイコールになる保証はない（ほとんどの場合、イコールにはならない）。
f(k) は、可算個の値しか取れない。どんな狭い区間を考えても、そこにある実数は、可算個より多い。結果として、f(k) は、範囲指定なら「どこでもOK」（どんな狭い区間にも侵入可能）だが、ピンポイント指定だと「ほとんど、どこも駄目」。
ギッシリ詰まってるのに、穴だらけ。指定された穴にいくらでも接近できるが、到達はできない（一般には）。
数学的には、いくらでも小さい数を考えられる。「到達せずに、いくらでも接近」は意味を持つ。けれど現実の宇宙・現実の物質は、このような「純粋」な位相を持たないらしい。あまりに小さい距離まで接近しようとすると、量子論的効果が無視できなくなり「接近」と「到達」の区別が困難になる。
【3】 √2 に限らず、任意の無理数について、同様の議論が成り立つ。特に、k を任意の整数として log を多価関数として扱うと:
11/(2π) = exp [1/(2π) × log 1] = exp [1/(2π) × 2kπi] = exp (ki)
これらの点も、永遠に循環しそうにない ―― 0 以外のどんな整数も、2π の整数倍と等しくなることはないので。実際、n, m を 0 でない整数として n = 2πm が成り立ったとすると、π が有理数になってしまい、事実に反する。…とすると、整数の偏角を持つ点も、単位円上で稠密。なぜなら、単位円を N 個の区間に等分して、相異なる N + 1 個の k を考えると、鳩の巣原理により…以下略。
単位円の一周を表す偏角 2π と、偏角 1 は「互いに素」（用語の乱用）、というか「互いに無理」。
整数は（より一般的に、任意の有理数は）、2π との比に関する限り無理数であり、他方、例えば π/3 は（それ自身は無理数だけれど）、2π との比は有理数になる。言葉にすると、当たり前…
1/(2π) は無理数だから、1/(2π) 乗は「無理数乗」の一般的性質に従う…と言えばそれまでだが、
0, ±1, ±2, ±3, … の偏角は単位円上で稠密。
数直線上の 0, ±1, ±2, ±3, … はスカスカなのに、その数直線を単位円にグルグル巻き付けると、「整数点」だけで円周をギッシリ覆うことができる！ 「整数と有理数の濃度が等しいこと」の可視化と解釈できるかも？
参考文献: J. David Taylor: A Note on Powers of Complex Variables (PDF)
付記: 規範文法の立場からは「稠密」の「稠」の読みはチュウ。記述文法の立場からは、この漢字はチュウ・チョウの2種類の音読みを持つ。JIS規格においてチョウが採用されている例もある（稠度）。
任意の実数を表現できないこと（コンピューターが実数を扱えず、浮動小数点型が離散的なこと）は、煎じ詰めると「この宇宙の実装による制限」かもしれない。もしコンピューターのメモリー上で「アドレス 0 から実数 x の距離のアドレス」に「大きさゼロの粒子」を置くことができ、そのアドレスをいつでも正確に測定・参照できるなら、実数 x を表現できることになる。「数直線上の点の位置」を表す絵文字（このアルファベットは非可算無限個の文字から成る！）を無限精度で読み書きできれば、任意の実数を有限の長さの記号列として表現できる。
画像の出典: アンの小箱 / Annenberg Foundation
2021-04-14 ω 乗
i 乗という演算の面白い性質は、z がどんな複素数でも（絶対値がどんなに小さくても大きくても）、zi の絶対値が一定範囲に限られることだろう（主値の場合）。これは zi の絶対値が exp (−arg z) であること、そして arg z の主値が (−π, π] の範囲にあることによる:
任意の z に対して exp (−π) ≤ | zi | < exp π （主値）
一般の複素数乗の場合には、そのような値域の制限はない。
【1】 1 の複素立方根（原始立方根） ω = ½(−1 + i√ 3 ) について ωω を求める。
ω = cos (2π/3) + i sin (2π/3) = exp (2πi/3) とも書ける。この数は、絶対値 1、偏角 2π/3 = 120°。
log ω = 2πi/3 に留意すると:
ωω = exp (ω log ω) = exp [½(−1 + i√ 3 ) × 2πi/3]
= exp [(−π/3)i − π√ 3 / 3]
= exp (−π√ 3 / 3) cis (−π/3) = 0.16303353… × (½ − i√ 3 / 2)
≈ 0.081516767 − 0.14119118i
一般に、複素数 z が絶対値 r、偏角 θ を持つとき:
zω = (r cis θ)ω
= exp [ω × log (r cis θ)] ← 複素数乗の定義より
= exp [ω × (log r + iθ)] ← log の性質より
= exp [½(−1 + i√ 3 ) × (log r + iθ)] ← ω の定義より
= exp [(−log r − √ 3 θ) / 2 + i (√ 3 log r − θ) / 2] ← 角かっこ内を実部・虚部に整理
= exp [(−log r − √ 3 θ) / 2] cis [(√ 3 log r − θ) / 2] ← exp の性質より
= [r exp (√ 3 θ)]−1/2 cis [(√ 3 log r − θ) / 2] ← 下記（※）の変形
入力の r は任意の正の実数値を取り得るので、上記の出力の絶対値も、入力次第で、いくらでも大きくも小さくもなり得る。
（※） 正の実数 r と実数 θ について:
exp [(−log r − √ 3 θ) / 2] = [exp (−log r − √ 3 θ)]1/2
= [exp (−log r) exp (−√ 3 θ)]1/2 = {(exp log r−1) [exp (√ 3 θ)]−1}1/2
= {r−1 [exp (√ 3 θ)]−1}1/2
【2】 1 のもう一つの原始立方根 Ω = ½(−1 − i√ 3 ) について ΩΩ を求める。
Ω = ω2 = cos (−2π/3) + i sin (−2π/3) = exp (−2πi/3) とも書ける。この数は、絶対値 1、偏角 −2π/3 = −120°。
log Ω = −2πi/3 に留意すると:
ΩΩ = exp (Ω log Ω) = exp [½(−1 − i√ 3 ) × (−2πi/3)]
= exp [(π/3)i − π√ 3 / 3]
= exp (−π√ 3 / 3) cis (π/3) = 0.16303353… × (½ + i√ 3 / 2)
≈ 0.081516767 + 0.14119118i
ωω は偏角 −60°、ΩΩ は偏角 60°。ちょっと面白い！
「チラ裏」は、きちんとまとまった記事ではなく、断片的なメモです。
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Map の長所、splice より速い要素挿入法も紹介。 〔最終更新: 2016年4月10日〕bdi 要素と Unicode 6.3 の新しい双方向アルゴリズム (2012-12-04)dir 属性は落とし穴が多い。HTML5 の <bdi> は役立つ。近い将来、「ユーザー入力欄などの語句は、このタグで隔離」が常識になるかも。 〔最終更新: 2014年4月27日〕
fad() は濁りやすい。各種の代替手段を紹介。msystem.waw.pl / videolan.org